ریاضیات

​ کواترنیون های واحد که به عنوان ورسور شناخته می شوند ، یک نماد ریاضی مناسب برای نمایش جهت گیری های فضایی و چرخش عناصر در فضای سه بعدی ارائه می دهند. به طور خاص، آنها اطلاعات مربوط به یک چرخش محور-زاویه حول یک محور دلخواه را رمزگذاری می کنند . ربع‌های چرخشی و جهت‌یابی در گرافیک کامپیوتری ، [1] بینایی کامپیوتر ، رباتیک ، [2] ناوبری ، دینامیک مولکولی ، دینامیک پرواز ، [3] مکانیک مداری ماهواره‌ها کاربرد دارند.، [4] و تجزیه و تحلیل بافت کریستالوگرافی . [5]هنگامی که برای نشان دادن چرخش استفاده می شود، کواترنیون های واحد نیز به عنوان چهارتایی چرخشی نامیده می شوند زیرا آنها گروه چرخش سه بعدی را نشان می دهند . هنگامی که برای نشان دادن یک جهت (چرخش نسبت به یک سیستم مختصات مرجع) استفاده می شود، به آنها چهارتایی جهت گیری یا چهارگانه های نگرش می گویند . چرخش فضایی حول یک نقطه ثابت ازرادیان حول محور واحدکه نشان دهنده محور اویلر است با کواترنیون داده می شود، و.در مقایسه با ماتریس های چرخشی ، کواترنیون ها فشرده تر، کارآمدتر و از نظر عددی پایدارتر هستند . در مقایسه با زوایای اویلر ، آهنگسازی آنها ساده تر است. با این حال، آنها به اندازه شهودی و درک آسان نیستند و به دلیل ماهیت تناوبی سینوس و کسینوس، زوایای چرخش که دقیقاً بر اساس دوره طبیعی متفاوت است در ربع‌های یکسان کدگذاری می‌شوند و زوایای بازیابی شده بر حسب رادیان محدود می‌شوند..استفاده از کواترنیون ها به عنوان چرخش [ ویرایش ]این بخش به نقل قول های اضافی برای تأیید نیاز دارد . لطفاً با افزودن نقل قول به منابع معتبر به بهبود این مقاله کمک کنید . اطلاعات بدون مرجع ممکن است مشکل ایجاد کرده و پاک شوند. ( ژانویه 2022 ) ( نحوه و زمان حذف این پیام ریاضیات...

ازیابی نمایش زاویه محور [ ویرایش ]بیانهر کواترنیون برداری را می چرخاندحول محوری که بردار داده می شودتوسط زاویه، جایی که وبستگی به کواترنیون دارد.واز معادلات زیر بدست می آید:جایی کهآتان 2متقاطع دو آرگومان است .هنگامی که کواترنیون به یک اسکالر نزدیک می شود باید مراقب بود ، زیرا به دلیل انحطاط محور چرخش همانی به خوبی تعریف نشده است.ترکیب چرخش های فضایی [ ویرایش ]یکی از مزایای فرمول کواترنیون ترکیب دو چرخش R B و R A این است که مستقیماً محور چرخش و زاویه چرخش مرکب R C = R B R A را ایجاد می کند.اجازه دهید کواترنیون مرتبط با یک چرخش فضایی R از محور چرخش S با زاویه چرخش ساخته شود.حول این محور کواترنیون مرتبط توسطسپس ترکیب چرخش R B با R A ، چرخش R C = R B R A با محور چرخش و زاویه تعریف شده توسط حاصل ضرب ربع‌ها است.به این معنا کهبرای به دست آوردن این ضرب را گسترش دهیددو طرف این معادله را بر همانی تقسیم کنید، که قانون کسینوس روی یک کره است .و محاسبه کنیداین فرمول رودریگز برای محور چرخش مرکب است که بر حسب محورهای دو چرخش تعریف شده است. او این فرمول را در سال 1840 استخراج کرد (به صفحه 408 مراجعه کنید). [7]سه محور چرخش A , B , C یک مثلث کروی را تشکیل می دهند و زوایای دو وجهی بین صفحاتی که توسط اضلاع این مثلث تشکیل شده اند با زوایای چرخش مشخص می شوند. همیلتون [8] فرم مؤلفه این معادلات را ارائه کرد که نشان می‌دهد حاصل ضرب کواترنیون، راس سوم یک مثلث کروی را از دو راس داده شده و طول قوس مرتبط با آنها محاسبه می‌کند، که همچنین جبری برای نقاط در هندسه بیضوی تعریف می‌کند.ترکیب محور-زاویه [ ویرایش ]محور چرخش نرمال شده، از بین بردناز ضرب منبسط شده، بردار را که محور چرخش است، چند برابر ثابت ترک می ک ریاضیات...

کواترنیون ها [ ویرایش ]نوشتار اصلی: کواترنیون هااعداد مختلط را می توان با معرفی یک نماد انتزاعی i که قوانین معمول جبر را برآورده می کند و همچنین قانون i 2 = -1 را تعریف کرد. این برای بازتولید همه قوانین حسابی اعداد مختلط کافی است: به عنوان مثال:به همین ترتیب، چهارتایی ها را می توان با معرفی نمادهای انتزاعی i ، j ، k تعریف کرد که قوانین i 2 = j 2 = k 2 = i j k = −1 و قوانین جبری معمول به جز قانون جابجایی ضرب را برآورده می کند (مثال آشنا از چنین ضرب غیر تعویضی، ضرب ماتریسی است ). از این همه قواعد محاسباتی کواترنیونی پیروی می شود، مانند قواعد ضرب عناصر پایه کواترنیونی . با استفاده از این قوانین می توان نشان داد که:قسمت خیالی یک کواترنیون مانند یک بردار رفتار می کنددر فضای برداری سه بعدی ، و قسمت حقیقی a مانند یک اسکالر در R عمل می کند. وقتی از ربات ها در هندسه استفاده می شود، راحت تر است که آنها را به عنوان یک اسکالر به اضافه یک بردار تعریف کنیم :برای برخی ممکن است عجیب باشد که یک عدد را به یک بردار اضافه کنند، زیرا آنها اشیایی با طبیعت بسیار متفاوت هستند، یا ضرب دو بردار در یکدیگر، زیرا این عمل معمولاً تعریف نشده است. با این حال، اگر به یاد داشته باشید که این یک نماد صرف برای بخش های حقیقی و خیالی یک کواترنیون است، مشروع تر می شود. به عبارت دیگر، استدلال صحیح، جمع دو چهارتایی است، یکی با بردار/قسمت خیالی صفر و دیگری با بخش اسکالر/حقیقی صفر:ما می‌توانیم ضرب کواترنیون را به زبان امروزی حاصل ضربات بردار و نقطه‌ای بیان کنیم (که در وهله اول از کواترنیون‌ها الهام گرفته‌اند [ 10] ). هنگام ضرب بردار/قطعات خیالی، به جای قواعد i 2 = j 2 = k 2 = ijk = -1 ، قانون ضرب چهارگانه را داریم:جایی ریاضیات...

​​در ترمودینامیک ، یک فرآیند ایزنتروپیک یک فرآیند ترمودینامیکی ایده آل است که هم آدیاباتیک و هم برگشت پذیر است. [1] [2] [3] [4] [5] [6] انتقال کار سیستم بدون اصطکاک است و هیچ انتقال خالص گرما یا ماده وجود ندارد. چنین فرآیند ایده آلی در مهندسی به عنوان مدل و مبنای مقایسه برای فرآیندهای واقعی مفید است. [7]این فرآیند ایده آل است زیرا فرآیندهای برگشت پذیر در واقعیت رخ نمی دهند. در نظر گرفتن یک فرآیند به عنوان هم آدیاباتیک و هم برگشت پذیر نشان می دهد که آنتروپی اولیه و نهایی یکسان هستند، بنابراین، دلیل نامیده شدن آن ایزنتروپیک (آنتروپی تغییر نمی کند). فرآیندهای ترمودینامیکی بر اساس تأثیری که بر سیستم خواهند داشت نامگذاری می شوند (مثلاً هم حجمی: حجم ثابت، ایزنتالپیک: آنتالپی ثابت). حتی اگر در واقعیت لزوماً امکان انجام یک فرآیند همسانتروپیک وجود ندارد، ممکن است برخی از آنها به این صورت تقریبی شوند.کلمه "ایسنتروپیک" را می توان به گونه ای دیگر تفسیر کرد، زیرا معنای آن از ریشه شناسی آن قابل استنباط است . این به معنای فرآیندی است که در آن آنتروپی سیستم بدون تغییر باقی می ماند. همانطور که ذکر شد، اگر این فرآیند هم آدیاباتیک و هم برگشت پذیر باشد، ممکن است رخ دهد. با این حال، این همچنین می تواند در سیستمی رخ دهد که در آن کار انجام شده روی سیستم شامل اصطکاک داخلی سیستم است و گرما به مقدار مناسب از سیستم خارج می شود تا اصطکاک داخلی را جبران کند تا آنتروپی بدون تغییر باقی بماند. [8] با این حال، در رابطه با جهان، آنتروپی جهان در نتیجه افزایش می‌یابد که مطابق با قانون دوم ترمودینامیک است.فهرستقانون دوم ترمودینامیک بیان می کند [9] [10] کهجایی کهمقدار انرژی است که سیستم با گرم کردن به دست می آورد ریاضیات...

نباید با تابع درصد یا رتبه صدک اشتباه شود .در آمار ، صدک k ( امتیاز صدک یا صدک ) امتیازی است که یک درصد معین k از امتیازها در توزیع فراوانی آن کمتر می‌شود (تعریف انحصاری) یا امتیازی که درصد معین یا کمتر از آن می‌افتد (تعریف فراگیر).به عنوان مثال، صدک 50 ( میانگین ) امتیازی است که زیر آن 50 درصد از امتیازات در توزیع (با تعریف « انحصاری »)، یا در یا کمتر از آن 50 درصد امتیازها (توسط « شامل «تعریف»). درصدها با همان واحد اندازه گیری نمرات ورودی بیان می شوند. به عنوان مثال، اگر نمرات به وزن انسان اشاره داشته باشد ، صدک های مربوطه به کیلوگرم یا پوند بیان می شود.امتیاز صدک و رتبه صدک اصطلاحات مرتبط هستند. رتبه صدک یک امتیاز، درصد امتیازهایی است که در توزیع آن کمتر از آن است، یک تعریف انحصاری، و می تواند با یک فرمول واحد و ساده بیان شود. نمرات صدک و رتبه های صدک اغلب در گزارش نمرات آزمون از آزمون های مرجع هنجار استفاده می شود.، اما همانطور که اشاره شد، آنها یکسان نیستند. برای رتبه صدک، یک امتیاز داده می شود و یک درصد محاسبه می شود. رتبه های صدک انحصاری هستند. اگر رتبه صدک برای یک امتیاز مشخص شده 90٪ باشد، 90٪ از نمرات پایین تر بودند. در مقابل، برای صدک ها درصدی داده می شود و امتیاز مربوطه تعیین می شود که می تواند انحصاری یا فراگیر باشد. امتیاز برای یک درصد مشخص (مثلاً 90) امتیازی را نشان می دهد که کمتر از آن (تعریف انحصاری) یا کمتر از آن (تعریف فراگیر) سایر امتیازات در توزیع قرار می گیرند.صدک 25 به عنوان چارک اول ( Q 1 )، صدک 50 به عنوان چارک میانه یا دوم ( Q 2 ) و صدک 75 به عنوان چارک سوم ( Q 3 ) نیز شناخته می شود.فهرستبرنامه های کاربردی [ ویرایش ]هنگامی که ISP ها پهنای باند اینترنت ریاضیات...

از ویکیپدیا، دانشنامه آزادنباید با تابع صدک یا درصد اشتباه شود .در آمار ، رتبه صدک ( PR ) یک امتیاز معین ، درصد امتیازهایی است که در توزیع فراوانی آن کمتر از آن امتیاز است. [1] فرمول ریاضی آن استکه در آن CF - بسامد تجمعی - تعداد تمام نمرات کمتر یا مساوی با امتیاز مورد نظر است ، F فراوانی امتیاز مورد علاقه، و N تعداد امتیازات در توزیع است. از طرف دیگر، اگر CF ' تعداد تمام امتیازات کمتر از امتیاز مورد علاقه باشد، آنگاهرتبه های صدکی (PR) برای توزیع 10 امتیازشکل محاسبه رتبه صدک را نشان می دهد و نشان می دهد که چگونه عبارت 0.5 × F در فرمول تضمین می کند که رتبه صدک درصدی از امتیازات کمتر از امتیاز مشخص شده را منعکس می کند. به عنوان مثال، برای 10 نمره نشان داده شده در شکل، 60٪ آنها زیر نمره 4 (پنج کمتر از 4 و نیمی از این دو برابر با 4) و 95٪ کمتر از 7 هستند (نه تا کمتر از 7 و نیمی از برابر با 7). گاهی اوقات، رتبه صدک یک امتیاز به اشتباه به عنوان درصد امتیازات کمتر یا مساوی آن [ نیاز به نقل قول ] تعریف می شود ، اما این به یک محاسبه متفاوت نیاز دارد، یکی با 0.5 × F.اصطلاح حذف شده معمولاً رتبه‌های صدک فقط برای امتیازات در توزیع محاسبه می‌شوند، اما همانطور که شکل نشان می‌دهد، رتبه‌های صدک را می‌توان برای امتیازهایی که فراوانی آنها صفر است نیز محاسبه کرد. به عنوان مثال، 90٪ از نمرات کمتر از 6 (نه کمتر از 6، هیچ کدام برابر با 6) هستند.در اندازه‌گیری آموزشی، طیفی از رتبه‌های صدکی که اغلب در گزارش نمره ظاهر می‌شوند، محدوده‌ای را نشان می‌دهند که احتمالاً رتبه صدک «واقعی» آزمون‌شونده در آن رخ می‌دهد. مقدار "درست" به رتبه ای اشاره دارد که آزمون شونده در صورت عدم وجود خطاهای تصادفی در فرآیند تست ریاضیات...